數(shù)學(xué)模型概述

描述系統(tǒng)性能的數(shù)學(xué)表達式，稱系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

實際存在的許多工程控制系統(tǒng)，不管它是機械的、電氣的、氣動的、液動的、生物學(xué)的和經(jīng)濟學(xué)的等等，它們的動態(tài)性能都可以用數(shù)學(xué)表達式(即數(shù)學(xué)模型)來描述(例如微分方程、差分方程等)。

研究和分析一個系統(tǒng)性能是否滿足要求，都是從數(shù)學(xué)模型的建立開始的。

同一個系統(tǒng)，可用不同的數(shù)學(xué)模型來表達，數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜程度可以不同。例如，具體的物理系統(tǒng)總是非線性的，真正的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是非線性的;而且嚴格地講，具體物理系統(tǒng)的參數(shù)不可能都是集中參數(shù)，真正的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型又應(yīng)該是偏微分方程。但是求解非線性方程和偏微分方程相當困難，有時甚至是不能求解。為使問題簡化，通常在影響不大、誤差允許的條件下，忽略次要因素，用簡化的數(shù)學(xué)模型來表述實際的系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)模型有多種形式。微分方程是數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)、狀態(tài)變量表達式等也是數(shù)學(xué)模型。

建立數(shù)學(xué)模型的方法，有分析法和實驗法。

建立數(shù)學(xué)模型的基本原則:

(1)全面考慮系統(tǒng)的特點和要求，分步建立數(shù)學(xué)模型。

(2)根據(jù)所應(yīng)用的系統(tǒng)分析方法，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

例如，在分析單輸人和單輸出線性系統(tǒng)時，建立微分方程，采用傳遞函數(shù);在最優(yōu)控制和多變量控制中，采用狀態(tài)方程;而對離散系統(tǒng)則采用差分方程。

傳遞函數(shù)的要點

傳遞函數(shù)在經(jīng)典理論中是一個很重要的函數(shù)，是常用的數(shù)學(xué)模型。

微分方程是動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(時域t的模型);傳遞函數(shù)是靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它是復(fù)頻域s的模型。

當系統(tǒng)參數(shù)結(jié)構(gòu)變化時，利用傳遞函數(shù)可以研究其對系統(tǒng)性能的影響。

定義

在線性(或經(jīng)線性化)定常系統(tǒng)中，當初始條件為O時，系統(tǒng)的輸出與輸入的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)是由若干元件有機組合而成的。從結(jié)構(gòu)及作用原理上看，有各種各樣不同的元件，但從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看，可分成幾種基本環(huán)節(jié)，或稱典型環(huán)節(jié)。不管元件是機械式、電氣式還是液壓式，只要它們的數(shù)學(xué)模型一樣，它們就是同一種環(huán)節(jié)。這樣劃分，為系統(tǒng)的分析和研究帶來很多方便，對理解和掌握各種元件對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響也很有幫助。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其傳遞函數(shù)

1.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

自動控制系統(tǒng)可由若干環(huán)節(jié)按一定的作用關(guān)系組合而成。由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成，并標明信號流向的系統(tǒng)框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

2.結(jié)構(gòu)圖的作法

(1)把元件看成典型環(huán)節(jié)或它們的組合;

(2)代人對應(yīng)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù);

(3)導(dǎo)出元件的變換關(guān)系，按信號的傳遞方向連接而成。

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